常用积分方法

之前的物理复赛题，很多题在用到积分时，都会告诉我们对应的积分公式。但是有的时候我们选的方法和出题人的思路不同，此时用到的积分公式就不同，这就要求我们掌握一定的推导积分公式的能力。

基本性质

换元法

就是将被积变量进行换元，我们举例说明此方法：

(资料图片)

求

令，由微商的定义，，故

代回可得

此即原函数。需要说明的是乘以常数依然是常数。

以上换元法可以解决我们能接触到的大部分积分，还有一些特殊的被积式，我们可以通过“凑微分”的方法，直接换元：

求

已知

则

分部积分法

由微分以及导数定义可知，若,是关于的函数，

则有

即

两边同时积分得

其中，故有

此即分部积分公式。我们同样举例说明其用法：

求

已知，利用分部积分公式得

由以上例子可以发现，分部积分的精髓是把不容易求得的转化成了容易求得的.

有了以上积分公式和方法，我们就可以处理绝大部分遇到的积分了。还有一类有理式的积分，技巧性更高一些，我们遇到了再做讨论。

定积分的应用

定积分在物理上的应用不胜枚举，比如变加速运动，变力做功，等等。在求解这些问题之前，都需要通过微分形式的公式，或者微元法，列出对应的微分方程。

质量为的物体以初速从地面竖直上抛，设空气阻力（为常数）.试求 （1）物体达到的最大高度； （2）求物体返回原处的速度.

（1）根据牛顿第二定律，以向上为正方向，对物体受力分析可得：

这个方程描述的是和的关系，而题目给出了初速度和末速度，要求的是最大高度，我们可以利用

将方程转化为关于和的方程：

这是最简单的一种可分离变量的微分方程。

可分离变量的意思，就是可以把两个变量分离到方程的左右两边，并写成被积式的形式：

这个方程描述的是两变量微分之间的关系，方程两边同时积分即可得到两变量之间的关系：

这一步，我们需要注意积分上下限的对应关系。

方程左边积分得

方程右边积分：

令，则有

注意换元之后积分上下限也需要调整：

当时，，当时，，故

所以

（2）第二问方法同（1）不作赘述，由牛顿第二定律得

解微分方程可得（或者直接类比（1）的结论，选向下为正方向，摩擦依然为负方向，重力变为正方向，且速度积分上下限相反）

联立（1）的结论得：

即

故

练习

两质点的质量均为，质点1从离地面高度为处由静止下落，质点2从质点1正下方的地面上以初速同时竖直上抛.设空气阻力与质点速率成正比，比例系数为（常量）.试求 （1）两质点相遇的时间. （2）两质点相遇的地点.

答案：（1）

（2）

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